魅力的な数式 - IIJIMASの日記

唐突ですが、 $ln$ を自然対数として、
$ln(1 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^k + ...) = \frac{x^1}{1} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + ... + \frac{x^k}{k} + ...$ 改めて魅力的な等式だと思いました。もちろん、(|x|<1)でしか通常意味ありませんが。
$\frac{1}{1-x} = 1 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^k + ...$
の両辺を形式的に積分したものです。
これは|x|<1のとき、
$1-x^{k+1} = (1-x)(1 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^k)$
$\frac{(1-x^{k+1})}{1-x} = 1 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^k$
$\lim_{k\to\infty}\frac{(1-x^{k+1})}{1-x} = \frac{1}{1-x}$
からわかります。
また、もとの式は、
$1 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^k + ... = e^{\frac{x^1}{1} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + ... + \frac{x^k}{k} + ...}$ でもあります。
$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$ だから・・・

$\sum_{n=0}^\infty{x^n}=(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!})(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!2^n})...(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{kn}}{n!k^n})...$ が成り立つってことですよね。。。
tex記法で遊んでみたかったっだけだったりしてｗ