ランダムウォークで元の場所に戻れる確率

Newton 2009年8月号に載ってて興味を持ちました。
数直線の上を右（+1）、左(-1)に各確率1/2で移動する過程を１次元単純ランダムウォーク（乱歩、酔歩）といいます。同様に平面の格子上を東(+1,0)西(-1,0)南(0,-1)北(0,+1)ランダムに各確率1/4で移動する過程を２次元単純ランダムウォークといいます。同様に空間の格子上を東西南北上下をランダム各確率1/6で移動する過程を３次元単純ランダムウォークといいます。・・・それ以上のｎ次元も想像はできます。
面白いことに１次元と２次元の単純ランダムウォークはいつかは出発点に戻ってくるのだそうです。
ところが、３次元以上の高次元格子上のランダムウォークでは、出発点に戻ってくる確率は1未満なのだそうです。３次元では出発点に戻ってくる確率は約34%(0.3405373296...)しかないのだそうです。４次元で約19%(0.193206...)、５次元で約13.5%(0.135178...)、これらの数はPólya's Random Walk Constants（ポリヤの酔歩定数？）と呼ばれているそうです。
一方、１、２次元では100%いつかは戻ってこれるというので、この次元による差異が不思議ですね。３次元では、適当に進んでたら出発地点に約2/3の確率で戻れなくなってしまうんですね。。。３次元以上の世界は酔っ払いにとっては広すぎるかもしれませんね。

参考：
「Wolfram MathWorld」
http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk.html
http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk1-Dimensional.html
http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html
http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk3-Dimensional.html
「Pólya's Random Walk Constants -- from Wolfram MathWorld」
「Random walk - Wikipedia, the free encyclopedia」