秩序なさそうでも秩序がある？6人いると・・・

突然ですが、一年前某所に書いてみたのに誰からも何も反応なかったので再掲します・・・
自分部屋の整理中見つけた数学の本を開いたら、以下のようなお話がのってて以前読んだ時に面白いと思ったことがあります。

6人いると、その中に、3人とも互いに知り合いの組か、互いに知り合いでない3人組が必ず見つかる。

興味のある方は頭の体操に証明してみてください。証明はすぐ下に書いてしまいますが。
これを一般化した命題はラムゼーの定理(Ramseys Theorem)と呼ばれています。一般に「要素がR(n)以上ある集合には、ある性質を満たす要素数nの部分集合が見つかる。」系の性質を研究する理論をラムゼー理論(Ramsey Theory)と呼びます。nがそれほど大きくなくてもR(n)がとても巨大な数になったりして、面白く謎が多い難しい理論のようです。

パーティ問題の証明↓

ある一人をAさんとします。 Aさんは、他の5人のうちに、3人知り合いがいるか、3人知らない人がいるかのどちらかです。
まず、前者(Aに3人知り合いがいる)の場合、その3人をB,C,Dとします。B,C,Dのうち互いに知り合いがいれば、Aと合わせて、互いに知り合いの3人組が見つかったことになります。互いに知り合いがいなければB,C,Dが互いに知り合いでない3人組です。
後者(Aに3人知らない人がいる)の場合も、その3人をB,C,Dとします。B,C,Dのうち互いに知り合いでない2人がいればAと合わせて、互いに知り合いでない3人組です。そうではない場合、つまりB,C,Dが互いに知り合いならば、それが互いに知り合いの3人組です。